Chứng minh quy nạp.

k=0, thì công thức (2.1) hiển nhiên đúng.

Giả sử (2.1) đúng đến k<n-1, ta chứng minh nó đúng với k+1, thật vậy:

L n {\displaystyle L_{n}}

= F k + 2 . L n − k + F k + 1 . L n − k − 1 {\displaystyle =F_{k+2}.L_{n-k}+F_{k+1}.L_{n-k-1}}

= F k + 2 . ( L n − k − 1 + L n − k − 2 ) + F k + 1 . L n − k − 1 {\displaystyle =F_{k+2}.(L_{n-k-1}+L_{n-k-2})+F_{k+1}.L_{n-k-1}}

= ( F k + 2 + F k + 1 ) . L n − k − 1 + F k + 2 . L n − k − 2 {\displaystyle =(F_{k+2}+F_{k+1}).L_{n-k-1}+F_{k+2}.L_{n-k-2}}

= F k + 3 . L n − k − 1 + F k + 2 . L n − k − 2 . {\displaystyle =F_{k+3}.L_{n-k-1}+F_{k+2}.L_{n-k-2}.}

Vậy là (2.1) cũng đúng với k+1.

Suy ra điều phải chứng minh.

Sử dụng công thức tổng quát.

Chứng minh, sử dụng công thức tổng quát:

L n F n = ( φ n + ( 1 − φ ) n ) ( φ n − ( 1 − φ ) n 5 ) {\displaystyle L_{n}F_{n}=(\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n})({{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}})}

Rút gọn lại được:

L n F n = ) ( φ 2 n − ( 1 − φ ) 2 n 5 = L 2 n {\displaystyle L_{n}F_{n}=)({{\varphi ^{2n}-(1-\varphi )^{2n}} \over {\sqrt {5}}}=L_{2n}}

Chứng minh bằng quy nạp theo n.

Sử dụng công thức tổng quát của L n {\displaystyle L_{n}} , để chứng minh hệ thức truy hồi sau:

L m n + 2 n = L m n . L 2 n − L | m n − 2 n | ( 1 ) {\displaystyle L_{mn+2n}=L_{mn}.L_{2n}-L_{|mn-2n|}(1)}

Từ đó suy ra:

L 3 n = L n + 2 n = L n . L 2 n − L n {\displaystyle L_{3n}=L_{n+2n}=L_{n}.L_{2n}-L_{n}}

Suy ra L 3 n {\displaystyle L_{3n}} chia hết cho L n {\displaystyle L_{n}} .

Lại dùng công thức truy hồi (1), suy ra L 5 n {\displaystyle L_{5n}} chia hết cho L n {\displaystyle L_{n}} .

Lặp lại thao tác trên k lần liên tiếp, suy ra L ( 2 k + 1 ) n {\displaystyle L_{(2k+1)n}} chia hết cho L n {\displaystyle L_{n}} , điều phải chứng minh.